山东2008高考文科数学试题及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
参考公式：
锥体的体积公式：V= .其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.
球的表面积公式：S＝－4ΠR3,其中R是球的半径.
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)满足M ｛a1·a2·a3·a4｝,则M ｛a1·a2·a3｝=｛a1·a2｝的集合M的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(2)设z的共轭复数是 ，若z+ =4,z· =8,则 等于
(A)i (B)－i (C) 1 (D) I
(3)函数y=lncosx(- ＜x＜ ＝的图象是
(4)给出命题：若函数y=f(x)是幂函数，则函数y=f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题，逆否命题三个命题中，真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
(5)设函数f(x)= 则f 的值为
(A) (B) - (C) (D)18
(6)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
(A)9 (B)10 (C)11 (D)12
(7)不等式 ≥2的解集是
(A)[-3, ] (B)[- ,3]
(C) (D)
(8)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边，向量m=( ),
n=(cosA,sinA),若m n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为
(A) (B) (C) (D)
(9)从某项综合能力或抽取100人的成绩，统计如表，则达100人成绩的标准差为
|
分数 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
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人数 |
20 |
10 |
30 |
30 |
10 |
(A) (B) (C)3 (D)
(10)已知cos（a ）+sina= ,则sin(a+ )的值是
(A) (B) (C) (D)
(11)若圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
(A)(x-3)2+( )2=1 (B)(x-2)2+(y-1)2=1
(C)(x-1)2+(y-3)2=1 D.( )2+(y-1)2=1
(12)已知函数f(x)=loga(2x+b－1)(a＞0,a 1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是
(A)0＜a－1＜b＜1 (B)0＜b＜a－1＜1
(C) 0＜b－1＜a＜1 (D) 0＜a－1＜b－1＜1
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(13)已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的以曲线的标准方程为 。
(14)执行右边的程序框图，若p=0.8,则输出的n= 4 .
(15)已知f(3a)=4xlog23+233,则f(2)+(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 2008 .
(16)设x,y满足约束条件 则z＝2x+y的最大值为 11 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
(17)（本小题满分12分）
已知函数 φ)-cos(wx+φ)(0＜φ＜π 为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解：(Ⅰ) ＝2
= .
因为f(x)为偶函数,
所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，
因此sin
即-sin
整理得
因为 ＞0,且x
所以
又因为0＜ ＜ ，
故 － .
所以
由题意得
所以w＝2.
故 f(x)=2cos2x.
因此
（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移 个单位后，得到 的图象.
所以
当
即 时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为
（18）（本小题满分12分）
现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.
（Ⅰ）求A1被选中的概率;
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率.
解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间 ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),
(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C2),(A3,B1,C2),
(A1,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}
由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B2,C2) }
事件M由6个基本事件组成，
因而
（Ⅱ）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示“B1、C1全被选中”这一事件，
由于 ＝{(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件 有3个基本事件组成，
所以 ，由对立事件的概率公式得
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC,△PAD是等边三角
形，已知BD＝2AD=8,AB=2DC= .
（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD;
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积.
（Ⅰ）证明：在△ABD中，
由于AD=4,BD=8,AB= ，
所以AD2+BD2=AB2.
故 AD⊥BD.
又 平面PAD⊥平面ABCD，平面 平面ABCD=AD, 平面ABCD，
所以 BD⊥平面PAD,
又 平面MBD，
故 平面MBD⊥平面PAD.
（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，
由于 平面PAD⊥平面ABCD，
所以 PO⊥平面ABCD.
因此 PO为四棱锥P-ABCD的高，
又 △PAD是边长为4的等边三角形，
因此
在底面四边形ABCD中，AB∥DC,AB=2DC,
所以 四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为
此即为梯形ABCD的高，
所以 四边形ABCD的面积为
故
（20）（本小题满分12分）
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn}，b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和，且满足 ＝1（n≥2）.
(Ⅰ)证明数列 成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当 时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和.
(Ⅰ)证明：由已知，当 ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列.
由上可知 .
即
所以 当
因此
(Ⅱ)解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q>0.
因为 1+2+…+12＝ ＝78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项，
故 a81在表中第13行第三列，
因此
又
所以 q=2.
记表中第 ≥3)行所有项的和为S，
则 .
（21）（本小题满分12分）
设函数 ，已知
(Ⅰ)求a和b的值；
(Ⅱ)讨论 的单调性；
(Ⅲ)设 ，试比较 与 的大小.
解：(Ⅰ)因为
又
因此
解方程组得
(Ⅱ)因为
所以
令
因为
所以 在（-2，0）和（1，+ ）上是单调递增的；
在（- ，-2）和（0，1）上是单调递减的.
(Ⅲ)由（Ⅰ）可知
(22)（本小题满分14分）
已知曲线C2= 所围成的封闭图形的面积为4 ,曲线C3的内切圆半径为 ，记C2为以曲线C2与坐标轴的交点顶点的椭圆.
(I)求椭圆C2的标准方程；
(II)设AB是过椭圆C，中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点.
（1） 若|MO|= |OA|(O为坐标原点)，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；
（2）若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值。
解：（I）由题意得
由a>b>0，
解得 a2=5, b2=4.
因此所求椭圆的标准方程为 =1.
（II）（1）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx(k≠0),
A(xA,yA).
解方程组 得
所以 |OA|2=x2A+ y2A=
设M(x,y)，由题意知|MO|=λ2|OA|2,即 ,
因为l是AB的垂直平分线，
所以 直线l的方程为y=- ,
即k=- ,
因此
又x2+y2=0,
故
又 当k=0或不存时，上式仍然成立.
综上所述，M的轨迹方程为 （λ 0）,
（2） 当k存在且k 0时，由（1）得
,
由 解得
所以|OA|2= ,
解法一：由于
=
=
=
=（ ）2，
当且仅当4+5k2=5+4k2时等号成立，即k= 1时等号成立，此时△AMB面积的最小值是S△AMB= .
当
当k不存在时，
综上所述， 的面积的最小值为
解法二：因为
又
当且仅当 时等号成立，即 时等号成立，此时 面积的最小值是
当k=0，
当k不存在时，
综上所述， 的面积的最小值为
